Théorème d'Euclide : une infinité de nombres premiers

Théorème d'Euclide

\(\mathcal{P}\) est infini, autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(\mathcal{P}\) est fini.
Ainsi,  \(\mathcal{P}\) possède un plus grand élément que l'on note \(q\) .

On pose  \(N=2 \times 3 \times 5 \times ... \times q +1\) , c'est-à-dire que \(N\) est le produit de tous les nombres premiers auquel on ajoute \(1\) .

Comme \(N \geqslant 2\) , il existe un nombre premier \(p\) divisant \(N\) , c'est-à-dire que l'on a  \(N=pk\)   avec \(k \in \mathbb{N}\) .

Comme \(p\) est un nombre premier, il est nécessairement égal à l'un des facteurs du produit \(2 \times 3 \times 5 \times ... \times q\) (car tous les nombres premiers figurent dans ce produit).
On peut donc écrire  \(N=pk'+1\)  avec \(k' \in \mathbb{N}\) .

En combinant ces deux expressions de \(N\) , on obtient  \(pk=pk'+1\) , donc  \(p(k-k')=1\) ,
donc  \(p\)  divise  \(1\)  : c'est absurde, car \(p \geqslant 2\) .

On en déduit que \(\mathcal{P}\) est infini.

Remarques

• Cette démonstration est celle d'Euclide lui-même. Dans ses Éléments, il énonçait : « Les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée. »
  
• Le plus grand nombre premier connu à ce jour est \(2^{82 589 933}-1\) .
  Il comporte 24 862 042 chiffres, et a été découvert le 7 décembre 2018 par Patrick Laroche.